ARMA推导 AR&MA

🎯 三大参数化模型完整对比

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📐 AR模型（自回归模型）

时域公式

$x(n) = -a₁·x(n-1) - a₂·x(n-2) - ... - aₚ·x(n-p) + w(n)$

系统函数

$H(z) = 1 / A(z) = 1 / (1 + a₁·z⁻¹ + a₂·z⁻² + ... + aₚ·z⁻ᵖ)$

功率谱密度

$Pₓₓ(ω) = σ_w² / |1 + ∑_{k=1}ᵖ a_k·e^{-jkω}|²$

特性总结

• 全极点模型

• 无限脉冲响应

• 自相关函数拖尾（逐渐衰减）

• 频谱有峰值，无凹陷

• 适合建模共振系统、周期性信号

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📐 MA模型（滑动平均模型）

时域公式

$x(n) = w(n) + b₁·w(n-1) + b₂·w(n-2) + ... + b_q·w(n-q)$

系统函数

$H(z) = B(z) = 1 + b₁·z⁻¹ + b₂·z⁻² + ... + b_q·z⁻ᵖ$

功率谱密度

$Pₓₓ(ω) = σ_w² · |1 + ∑_{k=1}ᵖ b_k·e^{-jkω}|²$

特性总结

• 全零点模型

• 有限脉冲响应

• 自相关函数截尾（m>q时为0）

• 频谱有凹陷，无峰值

• 适合建模短期相关、脉冲性信号

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📐 ARMA模型（自回归滑动平均模型）

时域公式

$x(n) = -∑_{k=1}ᵖ a_k·x(n-k) + ∑_{k=0}ᵖ b_k·w(n-k)$
其中 b₀ = 1

系统函数

$H(z) = B(z)/A(z) = (1 + b₁·z⁻¹ + ... + b_q·z⁻ᵖ) / (1 + a₁·z⁻¹ + ... + aₚ·z⁻ᵖ)$

功率谱密度

$Pₓₓ(ω) = σ_w² · |1 + ∑_{k=1}ᵖ b_k·e^{-jkω}|² / |1 + ∑_{k=1}ᵖ a_k·e^{-jkω}|²$

特性总结

• 零极点模型

• 无限脉冲响应

• 自相关函数拖尾

• 频谱既有峰值又有凹陷

• 适合建模复杂动态系统

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🔄 三种过程的生成机制

AR过程生成

$白噪声 → 全极点系统 → AR信号 w(n) → H(z)=1/A(z) → x(n)$

MA过程生成

$白噪声 → 全零点系统 → MA信号 w(n) → H(z)=B(z) → x(n)$

ARMA过程生成

$白噪声 → 零极点系统 → ARMA信号 w(n) → H(z)=B(z)/A(z) → x(n)$

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📊 对比总结表

特性	AR模型	MA模型	ARMA模型
系统类型	全极点	全零点	零极点
脉冲响应	无限长	有限长	无限长
自相关函数	拖尾衰减	截尾	拖尾衰减
频谱特征	只有峰值	只有凹陷	峰值+凹陷
参数个数	p+1	q+1	p+q+1
估计难度	简单	中等	复杂
适用场景	共振系统	短期相关	复杂系统

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🎯 物理意义类比

AR过程 - “惯性系统”

像秋千：一旦动起来，会按照自己的节奏持续摆动一段时间

MA过程 - “冲击响应系统”

像打水漂：石头投入水中，产生一连串逐渐衰减的波纹

ARMA过程 - “综合系统”

像汽车悬挂：既有弹簧的惯性振荡（AR），又有减震器的短期响应（MA）

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💡 选择指南

选择AR模型当：

• 信号有明显的共振频率

• 频谱有尖锐峰值

• 需要简单快速的估计

选择MA模型当：

• 信号只有短期相关性

• 频谱有凹陷特征

• 自相关函数快速衰减到零

选择ARMA模型当：

• 信号同时具有长期和短期特性

• 频谱既有峰值又有凹陷

• 对建模精度要求很高

这三种模型构成了参数化谱估计的核心工具集，能够描述绝大多数平稳随机过程！